Решение задач и ответы здесь представлены лишь в ознакомительных целях.
1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
Ответ: 20

Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
Ответ: 30

Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 11

2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
Ответ: 49

Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1226

3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 2.5

4. Сумма отрезков
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 78°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
Сколько градусов составляет угол BAC?
Ответ: 34
Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 68

5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
Ответ: 6

Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 2

6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?

7. Фестиваль
На фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?

8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11. В данном задании несколько верных утверждений.
4
5
6
7
8
9
10
11
Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число.